เราทราบแล้วว่าอิเล็กตรอนมีสมบัติเป็นได้ทั้งคลื่นและอนุภาค จงเสนอสมการที่ใช้บรรยายพฤติกรรมของอิเล็กตรอน

ชเรอดิงเงอร์

     เนื่องจากทฤษฎีอะตอมของโบร์ ใช้อธิบายได้ดีกับอะตอมไฮโดรเจนหรือไอออนที่มีอิเล็กตรอนตัวเดียวเท่านั้น เมื่อมีอะตอมของธาตุที่มีอิเล็กตรอนมากขึ้นจะต้องอธิบายด้วยกลศาสตร์ควอนตัม (quantum mechanics) ซึ่งผู้ค้นพบคือ ชเรอดิงเงอร์

ชเรอดิงเงอร์ (Schrödinger)

     เขาพบสมการพื้นฐานที่ใช้บรรยายพฤติกรรมของอิเล็กตรอน

     เมื่อ          = เฮมิลโตเนียน(Hamiltonian) เป็นตัวจัดกระทำ(operator)
                     = พลังงาน
                    = ฟังก์ชันคลื่น เนื่องจากอิเล็กตรอนเคลื่อนที่เป็นคลื่น

               เราไม่ทราบว่าฟังก์ชันคลื่นเป็นบวกหรือลบ ดังนั้นจึงนำฟังก์ชันคลื่นมายกกำลังสองเพื่อให้ค่าที่ได้ออกมาเป็นบวก เราจึงได้ค่าของการพบอิเล็กตรอนเป็นบวกหมด แล้วให้นิยามว่า

                 = โอกาสที่จะพบอิเล็กตรอน ณ บริเวณต่าง ๆ รอบนิวเคลียส หรือเรียกว่า "ออร์บิทัลอะตอม"(atomic orbital)

เมื่อแก้สมการของชเรอดิงเงอร์จะได้เลขควอนตัม(quantum number) 3 ชนิดคือ
          1. เลขควอนตัมหลัก (principal quantum number; n)
          2. เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม (angular momentum quantum number; l)
          3. เลขควอนตัมแม่เหล็ก (magnetic quantum number; m_l)
ต่อมา นักวิทยาศาสตร์พบเลขควอนตัมอีก 1 ชนิด คือ
          4. เลขควอนตัมสปิน (spin quantum number; m_s)

     เลขควอนตัม ใช้บอกลักษณะของออร์บิทัลอะตอม ไม่ว่าจะเป็นระดับพลังงาน, รูปร่าง, การจัดตัว นอกจากนั้นยังบอกลักษณะการหมุนรอบตัวเองของอิเล็กตรอนอีกด้วย

               1. เลขควอนตัมหลัก
                    สัญลักษณ์คือ n
                    บอกระดับพลังงานของออร์บิทัล(orbital) ภายในอะตอม ซึ่งเป็นบริเวณที่จะพบอิเล็กตรอน
                    n มีค่าเป็นเลขจำนวนเต็ม เริ่มตั้งแต่ 1, 2, 3, ...,
                    ค่า n มาก แสดงว่า อิเล็กตรอนอยู่ห่างจากนิวเคลียสและมีพลังงานสูงขึ้น

                    จะเห็นว่า ระดับพลังงานของอิเล็กตรอนที่อยู่ใกล้นิวเคลียสที่สุดมีค่า n = 1

               2.เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม
                    สัญลักษณ์คือ l
                    บอกรูปร่างของออร์บิทัล
                    l = n - 1
                    ตารางแสดงรูปร่างของออร์บิทัล

         จะเห็นว่า s ออร์บิทัลมีรูปร่างเป็นทรงกลม, p ออร์บิทัลมีรูปร่างคล้ายดัมเบลล์ (dumbbell) แต่ละออร์บิทัลก็จะมีรูปร่างต่างกันไป ซึ่งเราจะพบอิเล็กตรอนในออร์บิทัลเท่านั้น

         ตัวอักษรภาษาอังกฤษ s, p, d, f ที่เป็นชื่อออร์บิทัลมาจากการสังเกตเส้นสเปกตรัม ซึ่งบางเส้นคมชัด (shape) บางเส้นเข้มจึงน่าจะเป็นเส้นหลัก (principal) บางเส้นพร่า (diffuse) บางเส้นพบบ่อย ๆ หรือพบได้ง่าย (fundamental) ต่อมาจึงเรียงตามตัวอักษรเพื่อให้ง่ายต่อการจดจำ อักษรตัวถัดจาก f คือ g ดังนั้นถ้าในอนาคตเราพบธาตุในออร์บิทัลใหม่ก็จะให้ชื่อต่อจาก f คือ g, h, i, j,...

               3. เลขควอนตัมแม่เหล็ก
                    สัญลักษณ์คือ m_l
                    บอกการจัดตัวของออร์บิทัล
                    จำนวน m_l = (2l +1 ) ค่าของ m_l = -l ถึง + l
                    ตารางแสดงจำนวนและค่าของ m_l

                    จะเห็นว่า s, p, d, f ออร์บิทัลมีการวางตัวของออร์บิทัล 1, 3, 5, 7 แบบตามลำดับ จากการวางตัวของออร์บิทัลนี้เอง ทำให้เราทราบว่า s, p, d, f ออร์บิทัล สามารถบรรจุได้ 2, 6, 10, 14 อิเล็กตรอนตามลำดับ ถ้าสังเกตจากตัวเลขนี้ให้ดีจะพบว่า 1 ออร์บิทัล บรรจุได้ 2 อิเล็กตรอน

               4. เลขควอนตัมสปิน
                    สัญลักษณ์คือ m_s
                    เกิดจากการหมุน (spin) รอบตัวเองของอิเล็กตรอน
                    m_s มี 2 ค่า คือ +1/2 , -1/2

                    จะเห็นว่า ถ้าอิเล็กตรอนหมุนตามเข็มนาฬิกาจะมีค่า    m_s = +1/2
                    ในทางกลับกันอิเล็กตรอนหมุนทวนเข็มนาฬิกาจะมีค่า m_s = -1/2

     ตัวอย่าง แสดงเลขควอนตัมของซิลิคอน(Si)

     แบบจำลองอะตอมของชเรอดิงเงอร์

          อะตอมมีนิวเคลียสอยู่ภายในประกอบด้วยโปรตอนและนิวตรอน ส่วนอิเล็กตรอนเคลื่อนที่รอบนิวเคลียสภายในออร์บิทัลต่าง ๆ เช่น ธาตุคาร์บอนมีทั้งหมด 6 อิเล็กตรอน โดย 2 อิเล็กตรอนอยู่ใน 1s ออร์บิทัล, 2 อิเล็กตรอนอยู่ใน 2s ออร์บิทัล, 1 อิเล็กตรอนอยู่ใน 2p_x ออร์บิทัล, และ 1 อิเล็กตรอนอยู่ใน 2p_y ออร์บิทัล โดยจะไม่พบอิเล็กตรอนที่ node ของ p ออร์บิทัลและนาน ๆ ครั้งจะพบอิเล็กตรอนภายนอก 
ออร์บิทัล