1-4-2 การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

(1-40)

เมื่อ คือขนาดของความเร็วเชิงมุม และ แสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงมุมที่รัศมีของวงกลม r กวาดไปในช่วงเวลาหนึ่ง จากรูปที่ 1-7 เราสามารถแสดงความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของ และขนาดของความเร็วเชิงเส้น ได้ดังนี้

เมื่อจุด O และจุด A อยู่ใกล้กันมากๆ ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง ของอนุภาคสามารถเขียนตามนิยามได้เป็น

(1-41)

เนื่องจาก s เป็นความยาวของส่วนโค้ง ซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของรัศมี R และมุม θ ได้เป็น s = rθ ดังนั้นขนาดของความเร็วในสมการที่ (1-41) เขียนใหม่ได้เป็น

(1-42)

เมื่อแทนสมการที่ (1-40) ลงในสมการที่ (1-42) จะได้ความสัมพันธ์ ระหว่างขนาดของความเร็วเชิงมุม และขนาดของความเร็วเชิงเส้นเป็น

(1-43)

ในส่วนของทิศทางของ นั้น จะมีทิศตั้งฉากกับระนาบการหมุนตามกฎมือขวา ดังแสดงให้เห็นในรูปที่ 1-8

นอกจากความเร็วเชิงมุมแล้ว ยังมีอีกปริมาณหนึ่งที่ ใช้อธิบายการเคลื่อนที่ ในลักษณะวงกลมได้ ปริมาณดังกล่าวคือ ความเร่งเชิงมุม โดยอาศัยนิยามของความเร่ง ที่ได้ศึกษามาแล้ว ขนาดของความเร่งเชิงมุม หาได้จาก การเปลี่ยนแปลงความเร็วเชิงมุม ในช่วงเวลาหนึ่ง ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้

(1-44)

เมื่อ α คือ ขนาดของความเร่งเชิงมุมมีหน่วยเป็น

ใช้สมการที่ (1-43) กับสมการที่ (1-44) จะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง ขนาดของความเร่งเชิงมุมและความเร่งเชิงเส้นเป็น

(1-44B)

เนื่องจากความเร็ว และความเร่งเชิงมุม เป็นปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งต้องประกอบด้วย ขนาดและทิศทาง โดยในส่วนขนาดของปริมาณเวกเตอร์ทั้งสอง ได้แสดงให้เห็นแล้วข้างต้น ตามสมการที่ (1-40) และ (1-44) ตามลำดับ สำหรับทิศทางสามารถแสดงได้ตามรูปที่ 1-8

รูปที่ 1-8 แสดงทิศของเวกเตอร์ความเร่งและความเร็วเชิงมุมใน Cartesian coordinates

พิจารณารูปที่ 1-8 อนุภาค A มีวิถีการเคลื่อนที่เป็นวงกลม โดยมีจุดศูนย์กลางที่ C รัศมี และมีเวกเตอร์ เป็นเวกเตอร์บอกตำแหน่งอ้างอิงกับจุดกำเนิด O เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงเส้น ซึ่งมีทิศในแนวเส้นสัมผัส กับความเร็วเชิงมุมได้ตามสมการที่ (1-43) ซึ่งเป็นไปตามนิยามของผลคูณแบบครอส ดังนั้น

(1-45)

สมการที่ (1-45) แสดงให้เห็นว่า มีทิศตั้งฉากกับ และ

สำหรับในกรณีทั่วไปแล้ว เมื่ออนุภาค มีการเคลื่อนที่เป็นวงกลม อนุภาคจะมีความเร่ง โดยความเร่งที่เกิดขึ้นประกอบด้วย ความเร่งในแนวเข้าสู่ศูนย์กลาง (centripetal acceleration, ) เกิดขึ้นเนื่องจากความเร็วของอนุภาคมีการเปลี่ยนแปลงทิศทาง และ ความเร่งในแนวเส้นสัมผัส (tangential acceleration, ) เกิดขึ้นเนื่องจากความเร็วของอนุภาคมีการเปลี่ยนแปลงขนาด ทำให้ความเร่งลัพธ์ของอนุภาคที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม เขียนได้เป็น

(1-46)

ดังได้แสดงไว้ในรูปที่ 1-9

รูปที่ 1-9 แสดงความเร่งของอนุภาคขณะที่มีการเคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมี R

เราสามารถหาขนาดของความเร่งทั้งสองได้โดยอาศัยรูปที่ 1-10

รูปที่ 1-10 แสดงวิถีการเคลื่อนที่เป็นวงกลมของอนุภาคในระนาบ

จากรูปที่ 1-10 จะเห็นว่าอนุภาคมีความเร็วที่ตำแหน่ง A เท่ากับ ซึ่งเขียนให้อยู่ในรูปของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยได้เป็น

(1-47)

โดยที่ คือขนาดของ และ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศเดียวกับ
ถ้าในกรณีที่กำลังพิจารณา ความเร็วของอนุภาค มีการเปลี่ยนแปลงทั้งขนาด และทิศทาง เทียบกับเวลา (ทั้ง และ ต่างก็เปลี่ยนแปลง) ความเร่งของอนุภาคสามารถเขียนได้เป็น

	(1-48)

เป็นอนุพันธ์ของเวกเตอร์ซึ่งก็ยังเป็นเวกเตอร์ และเราสามารถแสดงได้ว่า

(1-49)

โดยที่ มีทิศตั้งฉากกับ และมีทิศพุ่งเข้าสู่จุดศูนย์กลางของวงกลม ดังแสดงในรูปที่ 1-11

รูปที่ 1-11 แสดง ซึ่งตั้งฉากกับ

ทำให้สมการที่ 1-48 สามารถเขียนได้เป็น

(1-50)

แทนค่า และ a ด้วย สมการที่ 1-43 และ 1-44B จะได้ว่า

(1-51)

ดังนั้นเมื่อเทียบสมการที่ (1-51) กับสมการที่ (1-46) จะได้ว่า ความเร่งของอนุภาคในแนวเข้าสู่ศูนย์กลางสามารถเขียนได้เป็น

(1-52)

จะเห็นว่าความเร่งของอนุภาคในแนวเข้าสู่ศูนย์กลางเกิดจากการเปลี่ยนแปลงทิศทาง เพราะมาจาก

ความเร่งของอนุภาคในแนวเส้นสัมผัสสามารถเขียนได้เป็น

(1-53)

ส่วนความเร่งในแนวเส้นสัมผัสนี้ มาจากการเปลี่ยนแปลงขนาดของความเร็ว โดยไม่ขึ้นกับการเปลี่ยนทิศทาง

สมการที่ 1-52 อาจจะเขียนในรูปที่คุ้นกันมากกว่าคือ

(1-54)

ตัวอย่างที่ 1-5

จงแสดงว่า โดยที่ มีทิศตั้งฉากกับ และมีทิศพุ่งเข้าสู่ จุดศูนย์กลางของวงกลม         วิธีทำ         พิจารณาเทอม         เนื่องจาก เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยใน Cartesian coordinates (x,y) จึงสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ได้ดังนี้ (ใช้รูปที่ 1-10 ประกอบ) (1-55)         เมื่อ θ คือมุมระหว่าง กับแกน y (1-56)         เมื่อ (1-57)         เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยเช่นกัน และมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลางของวงกลม          จากสมการที่ 1-55 และ 1-57 จะเห็นว่า นั่นคือ มีทิศตั้งฉากกับ

ตัวอย่างที่ 1-6

ถ้าอนุภาคหนึ่งมีการเคลื่อนที่เป็นแบบวงกลมด้วยความเร็วเชิงมุมคงตัวตามรูป จงหาขนาดของความเร่ง (เชิงเส้น) เฉลี่ยในช่วง p ถึง q         รูปแสดงการเคลื่อนที่เป็นวงกลมของอนุภาคด้วยความเร็วเชิงมุมคงตัวจากจุด p ไปยังจุด q         วิธีทำ         เราควรจะทราบก่อนทำการคำนวณเชิงคณิตศาสตร์ว่า การเคลื่อนที่เป็นวงกลม ในลักษณะนี้ ถึงแม้ขนาดความเร็วในการเคลื่อนที่คงที่ ดังนั้นจึงไม่มีความเร่ง ในแนวเส้นสัมผัส แต่วัตถุยังมีความเร่งในแนวเข้าสู่ศูนย์กลาง เพราะมีการเปลี่ยนแปลง ทิศทางของความเร็ว ดังนั้นคำตอบจึงควรเป็นในลักษณะที่ แต่         จากรูปแสดงให้เห็นถึงวิถีการเดินทางของอนุภาคจากจุด p ไปยังจุด q โดยมีแนวการเดินทางเป็นส่วนหนึ่งของวงกลมรัศมี r โดยมีขนาดของความเร็วที่จุด p เท่ากับ และขนาดของความเร็วที่จุด q เท่ากับ ดังนั้นอนุภาคมีความเร่งเป็น         รูปด้านล่างแสดงให้เห็นว่า ในทิศ -y นั่นคือ จะมีเฉพาะ องค์ประกอบในแนวแกน y ซึ่งเป็นความเร่งสู่ศูนย์กลาง ตามที่คาดไว้แต่แรก         เวลาที่อนุภาคใช้ในการเคลื่อนที่จากจุด p ไปยังจุด q ด้วยความเร็ว (เนื่องจากอนุภาควิ่งด้วยอัตราเร็วคงตัวดังนั้น หาได้จาก         เมื่อ arclength (pq) แทนความยาวส่วนโค้ง pq         ณ จุดนี้เรามีข้อมูลเพียงพอ ที่จะคำนวณหาความเร่ง ที่เกิดจากการเคลื่อนที่เป็นวงกลมของอนุภาค         ถ้าพิจารณาให้มุม θ มีค่าน้อยลง กล่าวคือจุด p และ q อยู่ใกล้กันมากๆ โดยอาศัยนิยามเรื่องความเร่งขณะใดขณะหนึ่งจะพบว่า จะกลายเป็นความเร่งขณะใดขณะหนึ่ง ณ จุดที่แกน y ตัดกับวิถีการเดินทางของอนุภาค นอกจากนี้ยังทำให้เทอม มีค่าเข้าใกล้ 1           ดังนั้นเราจึงสามารถสรุป ได้ว่าอนุภาคที่มีการเคลื่อนที่เป็นวงกลม ด้วยอัตราเร็วคงที่ จะมีขนาดความเร่งเป็น หรือ         ซึ่งเป็นไปตามสมการที่ (1-54) โดยความเร่งนี้มีทิศชี้เข้าสู่จุดศูนย์กลาง และตั้งฉากกับความเร็วของอนุภาคเสมอ ดังรูปที่ 1-12 รูปที่ 1-12 แสดงทิศที่ตั้งฉากกันระหว่างความเร่งสู่ศูนย์กลางและความเร็วของอนุภาค