ในหัวข้อที่ผ่านมา เป็นการพิจารณาการเคลื่อนที่ของอนุภาค โดยเน้นเพียงใน 1 มิติ แต่ในความเป็นจริง การเคลื่อนที่ของวัตถุ อาจพิจารณาได้ใน 2 และ 3 มิติ ตัวอย่างเช่น การเคลื่อนที่ของวิถีกระสุนปืนใหญ่ หรือแม้แต่การเคลื่อนที่ของดาวเทียมรอบโลก ซึ่งโดยทั่วไปแล้ว การหาการกระจัด ความเร็ว และความเร่ง ของการเคลื่อนที่ ในลักษณะดังกล่าว ก็สามารถประยุกต์ใช้สมการการเคลื่อนที่ ที่ได้นำเสนอในหัวข้อที่ผ่านมา สำหรับตัวอย่าง เฉพาะ ของการเคลื่อนที่ในหลายมิติ ที่จะนำมาพิจารณาในบทนี้ ประกอบด้วยการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ และ การเคลื่อนที่เป็นวงกลม

1-4-1 การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (projectile motion)

(1-26)

เนื่องจากไม่มีความเร่งในแนวแกน x เพราะไม่คิดแรงต้านของอากาศ ขนาดของความเร็วในแนวนอนที่เวลาต่างๆ จึงเป็นค่าคงที่ และสามารถเขียนได้เป็น

= ค่าคงที่

(1-27)

ขนาดของความเร็วในแนวแกน y เขียนได้เป็น

(1-28)

ขนาดของความเร็วปลายในแนวแกน y ณ เวลา t ใดๆ เขียนได้เป็น

	(1-29)

จากสมการที่ (1-24) การกระจัดในแนวแกน x เขียนได้เป็น

(1-30)

และการกระจัดในแนวแกน y เขียนได้เป็น

	(1-31)

สังเกตว่าจากสมการที่ (1-27) ขนาดความเร็วในแนวแกน x มีค่าคงตัวไม่ขึ้นกับเวลา เนื่องจากไม่มีความเร่ง ในแนวแกนนี้ แต่ความเร็วในแนวแกน y จะมีการเปลี่ยนแปลงลดลงจนเป็นศูนย์ ณ จุดสูงสุด จากนั้นเมื่อวัตถุตกกลับลงมา ก็จะมีความเร็วเพิ่มขึ้น (พิจารณาตามสมการที่ (1-29))


สำหรับความเร็วลัพธ์ ณ เวลา t ใดๆ หาได้จาก

(1-32)

โดยขนาดของ คือ

(1-33)

และทิศทางของเวกเตอร์ วัดเทียบกับแกน x หาได้จาก

(1-34)

รูปที่ 1-5 แสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุแบบโปรเจคไตล์

จากรูปที่ 1-5 แสดงกราฟการเคลื่อนที่ของวัตถุในแบบโพรเจกไทล์ สังเกตว่าวัตถุเริ่มเคลื่อนที่จาก (0,0) เมื่อเวลา t = 0 ด้วยขนาดความเร็วต้น u เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ไปถึงจุดยอดสุด เมื่อเวลา ความเร็วของวัตถุในแนวแกน y ลดลงเป็นศูนย์ ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในแนวแกน y คือ h และระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในแนวแกน x คือ

เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ลง ระยะทางของวัตถุในแนวแกน y จะลดลงจนเป็นศูนย์ ในขณะที่ระยะทางในแนวแกน x มีค่าเป็น R เมื่อเวลาผ่านไป

ในที่นี้ h บอกถึงความสูงที่วัตถุขึ้นไปได้สูงสุด (height) และ R บอกถึงระยะทางที่วัตถุไปได้ไกลสุด (range) โดยค่า h และ R สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ และ g ได้ดังนี้

เริ่มจากการพิจารณา เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ขึ้นไปถึงจุดสูงสุด จะได้ว่า ดังนั้นเวลาที่วัตถุใช้ในการเคลื่อนที่จากจุดเริ่มต้น ไปยังจุดสูงสุด ดังกล่าวหาได้โดยใช้สมการที่ (1-29) หาได้จาก

	(1-35)

แทนสมการที่ (1-35) ลงในสมการที่ (1-31) เพื่อหาความสูงที่วัตถุขึ้นไปได้สูงที่สุด h

	(1-36)

สำหรับระยะทางที่วัตถุไปได้ไกลที่สุด สามารถหาได้จากสมการที่ (1-30) โดยแทนค่าเวลา ในสมการดังกล่าว ด้วยค่าสองเท่าของเวลา ที่วัตถุใช้ในการเคลื่อนที่ขึ้นไปได้สูงสุด

ดังนั้น

	(1-36)

สมการที่ (1-37) แสดงให้เห็นถึงค่าของ R ในรูปของ และ g

ในกรณีที่เรากำหนดให้ u เป็นค่าคงที่ และเปลี่ยนมุม เท่านั้น จะพบว่า R จะมีค่ามากสุดเมื่อ สังเกตว่าที่มุม 45° วัตถุเคลื่อนที่ได้ระยะทางไกลที่สุด (ดูรูปที่ 1-6)

รูปที่ 1-6 แสดงการเคลื่อนที่แบบ projectile ของวัตถุที่มุมต่างๆ