4-4-1 การชนแบบไม่ยืดหยุ่นเลย (perfectly inelastic collisions)

รูปที่ 4-8 แสดงการชนแบบไม่ยืดหยุ่นเลย กล่าวคือ ก่อนชนวัตถุมวล m1 และ m2 วิ่งเข้าหากันด้วยความเร็ว และ ตามลำดับ หลังจากนั้นวัตถุทั้งสองติดกันไป และวิ่งไปด้วยความเร็ว เนื่องจากการชนในลักษณะนี้โมเมนตัมเท่านั้นที่คงตัวดังนั้น

เพราะฉะนั้นความเร็วหลังการชน
(4-15)

สมการที่ (4-15) นี้ยังคงเป็นจริงเมื่อเกิดปรากฏการณ์ในทางกลับกันด้วย กล่าวคือ ถ้ามีวัตถุมวล M กำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว และแตกออกเป็นสองส่วน (ใน 1 มิติ) ส่วนที่มีมวล m1 จะวิ่งออกไปด้วยความเร็ว ในขณะที่ มวล ที่แตกออกไป ก็จะวิ่งออกไปด้วยความเร็ว

ตัวอย่างที่ 4-3 (The Ballistic Pendulum)

         การชนแบบไม่ยืดหยุ่นของ The Ballistic Pendulum ดังแสดงในรูปที่ 4-9 ซึ่งประกอบด้วยแท่งไม้แขวนไว้ด้วยเชือกน้ำหนักเบา ซึ่งสามารถ นำมาใช้ในการหาความเร็ว ของวัตถุโดยอาศัยหลักการชนแบบไม่ยืดหยุ่นของวัตถุ

         ถ้าลูกปืนมวล m1 เคลื่อนด้วยความเร็ว เข้าชนแท่งไม้มวล m2 ที่แขวนอยู่นิ่งๆ ผลจากการชนทำให้ลูกปืนฝังอยู่ในเนื้อไม้และทำให้ทั้งลูกปืนและแท่งไม้มีความเร็วเป็น แท่งไม้ยกตัวสูงจากตำแหน่งเดิมไปเท่ากับ H เหมือนกับการแกว่งของ pendulum จงหาความเร็วต้นของลูกปืน

         วิธีทำ
         ในการแก้ปัญหาข้อนี้ ต้องแยกพิจารณาเป็นสองขั้นตอน คือ ขั้นการชนและขั้นที่ย้ายจาก A ไป B

         ขั้นการชน (แยกเป็นก่อนและหลังชน) เป็นขั้นตอนการชนกัน ระหว่างลูกปืนกับแท่งไม้ โดยอาจจะมองว่าขั้นตอนนี้เกิดขึ้นค่อนข้างเร็ว จนแท่งไม้ยังอยู่ที่เดิม (ตำแหน่ง A) แต่ลูกปืนได้เข้าไปฝังในแท่งไม้แล้ว ซึ่งในขั้นตอนนี้ เป็นการชนแบบไม่ยืดหยุ่นเลย เพราะมวลทั้งสองก้อนติดไปด้วยกัน ไม่สามารถ ใช้กฎการคงตัวของพลังงานจลน์ได้ คงใช้ได้เฉพาะกฎการคงตัวของโมเมนตัม สิ่งที่จะสับสนได้ง่ายคือในการคิดขั้นตอนนี้ นักศึกษาต้องแยกเป็น ก่อนการชน และหลังการชน

         ขั้นตอนที่สอง (ขั้นที่ย้ายจาก A ไป B) เริ่มจากจุดที่สมมุติว่า ทั้งแท่งไม้และลูกปืนที่ฝังอยู่ภายในมีความเร็วค่าหนึ่ง ซึ่งคำนวณได้จากขั้นตอนแรก จากความเร็วค่านี้ ทำให้สามารถคำนวณหาพลังงานจลน์ของแท่งไม้พร้อมลูกปืนได้ แล้วจึงใช้ หลักการคงตัวของพลังงานกล เพื่อคำนวณความสูง ที่ทั้งแท่งไม้ และลูกปืนจะขึ้นไปได้

        รายละเอียดการคำนวณ
         ขั้นแรก
         ใช้สมการที่ 4-15
                                                   
         ทั้งแท่งไม้และลูกปืนมีความเร็วเป็น โดยทั้งคู่ยังคู่ที่จุด A
         ขั้นที่สอง
         คิดพลังงานกลที่สองจุด คือ ที่จุดต่ำสุด (จุด A) และ ที่จุดที่แท่งไม้ขึ้นได้สูงสุด (จุด B)

         พลังงานกลที่จุดต่ำสุดมีค่าเป็น (ให้ A เป็นระดับอ้างอิงสำหรับพลังงานศักย์)


         พลังงานกลที่จุดสูงสุดมีค่าเป็น


         จากกฎคงตัวของพลังงานกลจะได้ว่า




4-4-2 การชนแบบยืดหยุ่น (elastic collisions)

รูปที่ 4-10


สำหรับในการชนแบบยืดหยุ่นนี้ ทั้งโมเมนตัมและพลังงานจลน์จะคงคัว สำหรับระบบที่ประกอบด้วยมวล m1 และ m2 วิ่งเข้าชนกันใน มิติ ด้วยความเร็ว และ ตามลำดับ ซึ่งหลังจากการชน มวลทั้งคู่มีความเร็วเปลี่ยนแปลงไปเป็น และ (รูปที่ 4-10) ดังนั้นหลักการคงตัวของโมเมนตัมและหลักการคงตัวของพลังงานจลน์เขียนได้ดังนี้

หลักการคงตัวของโมเมนตัม

(4-16)

และ หลักการคงตัวของพลังงานจลน์
(4-17)

เมื่อกำหนดให้ มีค่าเป็นบวก เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ไปทางขวา และมีค่าเป็นลบเมื่อวัตถุเคลื่อนที่ไปทางซ้าย

สมมติว่า ทราบค่า m1 , m2  ,  และ , สามารถหาค่า ได้จากสมการที่ (4-16)และ (4-17) ดังนี้
(4-18)
(4-19)

โดยในการหาค่า , จากสมการที่ (4-18) และ (4-19) นี้ต้องคำนึงถึงเครื่องหมายของ , ที่แทนลงในสมการดังกล่าวด้วย

ค่าของ , ในรูปของ m1 , m2, ,  ตามสมการที่ (4-18) และ (4-19) ค่อนข้างจะมองความสัมพันธ์ได้ค่อนข้างยาก จึงได้มีการนำสองสมการนี้ ไปพิจารณากรณีพิเศษหลายกรณี เพื่อจะได้เข้าใจสมการทั้งสองนี้ได้ดีขึ้น

กรณีพิเศษต่างๆ ของการชนแบบยืดหยุ่น
1. กรณี m1 = m2 จะพบว่าได้
(4-20)
และ
(4-21)
ซึ่งหมายความว่า วัตถุที่มีมวลเท่ากัน หลังจากการชนแบบยืดหยุ่นแล้ว วัตถุหนึ่งจะมีความเร็วหลังการชน เท่ากับความเร็วก่อนการชนของวัตถุอีกอันหนึ่ง

2. กรณีที่ m2อยู่นิ่ง
ดังนั้น จะทำให้สมการที่ (4-18) และ (4-19) ได้เป็น
(4-22)
(4-23)

จากสมการที่ (4-22) และ (4-23) ยังสามารถวิเคราะห์เพิ่มเติมได้ว่า เมื่อวัตถุที่วิ่งเข้ามาชน มีมวลมากมาก เช่น รถบรรทุกสิบแปดล้อวิ่งเข้าชนรถมอเตอร์ไซค์ที่จอดอยู่ จะทำให้ และ หมายความว่า เมื่อวัตถุที่มีมวลมากๆ ชนกับวัตถุที่มีมวลน้อย ๆ ที่อยู่กับที่จะมีผลทำให้วัตถุมวลมากไม่มีการเปลี่ยนแปลงความเร็ว โดยจะยังคงเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่าเดิม ในทิศทางเดิม และมีผลให้วัตถุมวลน้อย จะมีการเคลื่อนที่ในทิศทางเดียวกันกับวัตถุมวลมาก และมีความเร็วประมาณสองเท่าของวัตถุมวลมาก

ในทางกลับกัน ถ้า นั่นคือมวลที่วิ่งเข้ามาชนมีค่าน้อย เช่น รถจักรยานวิ่งเข้าชนรถบรรทุกที่จอดอยู่กับที่ จากสมการที่ (4-22) และ (4-23) จะพบว่า และ กล่าวคือ วัตถุมวลน้อย m1 เมื่อชนกับวัตถุมวลมาก m2 ซึ่งอยู่นิ่งแล้วจะเกิดการเคลื่อนที่ กลับทิศทางก่อนชน (เหมือนกับการสะท้อนกลับไป) และมีขนาดของความเร็วโดยประมาณเท่าเดิม ในขณะที่วัตถุมวลมากจะยังคงหยุดนิ่งต่อไป

ตัวอย่างที่ 4-4

         ลูกบอลสองลูกวิ่งเข้าชนกันด้วยอัตราเร็วเท่ากัน หลังจากเกิดการชนแล้วลูกบอลมวล 0.05 kg หยุดนิ่ง จงหามวลของลูกบอลอีกลูก กำหนดให้เป็นการชนแบบยืดหยุ่น

         วิธีทำ
         กำหนดให้ โจทย์ต้องการทราบว่า m2 มีค่าเท่าใด
         นอกจากนี้จะขอกำหนดให้มวล m1 เคลื่อนไปทางขวาซึ่งเป็นทิศบวก ทำให้ได้ว่า และ และจากเงื่อนไขที่ว่าภายหลังการชนมวล m1 อยู่นิ่งทำให้ได้ว่า

         แทนค่าทั้งหมดลงในสมการที่ 4-18 ที่ว่า
         จะได้

         จะเห็นว่าตัวอย่างที่ 4-4 นั้นอยู่บนพื้นฐานของการใช้สมการที่ 4-18 ซึ่งค่อนข้างยุ่งยากในการจดจำ และยังอาจจะต้องใช้คู่กับสมการที่ 4-19 อีกด้วย ส่วนการจะมาเริ่มต้นหลักการคงตัวของโมเมนตัมและพลังงานจลน์ ตามสมการที่ 4-16 และ 4-17 ทุกครั้งก็ทำได้ลำบาก ทางออกของเรื่องนี้คือ การใช้สมการที่เป็นผลโดยตรง จากสมการที่ 4-16 และ 4-17 แต่ไม่ใช่ในรูปของคำตอบสุดท้ายเหมือนสมการที่ 4-18 และ 4-19 โดยจะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง ดังนี้
(4-24)

         หรือในรูปแบบที่นิยมมากกว่าคือ
(4-25)

         ซึ่งถ้าเรานึกภาพว่ามวล m2 วิ่งอยู่ข้างหน้าและถูกไล่ด้วยมวล m1 ปริมาณ ก็คือความเร็วในการเข้าหากัน เพราะคือความเร็วของมวล m1 เทียบกับมวล m2 ในขณะที่ด้านขวามือของสมการที่ 4-25 คือความเร็วหลังชนซึ่ง มวล m2 ที่อยู่ด้านหน้าจะถูกชนจนเร็วกว่า m1 ทำให้ คือความเร็วของการแยกจากกัน เพราะว่าเป็นความเร็วของมวล m2 เทียบกับ m1

         การใช้สมการ 4-25 ในการคำนวณ จะใช้ได้เฉพาะการชนแบบยืดหยุ่นเท่านั้น เพราะสมการที่ 4-25 เป็นผลมาจากการใช้หลักคงตัวโมเมนตัมและพลังงานจลน์ และเวลาใช้นิยมใช้ควบคู่กับสมการที่ 4-16 มากกว่า 4-17 เพราะจะได้ไม่ต้องแก้สมการที่มีเทอมกำลังสอง

         นอกจากนี้สมการที่ 4-25 ยังนิยมเขียนในรูป

(4-26

         ซึ่งเป็นการบอกจากผู้สังเกตที่อยู่บนมวล m2 ว่ามวล m1 วิ่งเข้าชนด้วยความเร็วเท่าไร ก็จะออกไปด้วยความเร็วที่มีขนาดเท่ากัน แต่ทิศทางตรงกันข้าม