5-1-1จุดศูนย์กลางมวลของระบบอนุภาคที่มีการกระจายมวลอย่างไม่ต่อเนื่อง

จากรูปที่ 5-1 ระบบประกอบด้วยอนุภาคมวล m1 และ m2 อยู่บนแกน x โดยอนุภาค m1 อยู่ที่ตำแหน่ง x1 และอนุภาค m2 อยู่ที่ตำแหน่ง x2 ดังรูปที่ 5-1

จุดศูนย์กลางมวลของระบบที่แสดงในรูปที่ 5-1 หาได้จาก

(5-1)

เมื่อ M คือมวลรวมของทั้งระบบ

หรือเขียนให้อยู่ในรูปของสมการทั่วไปสำหรับอนุภาคหลาย ๆ ก้อนได้เป็น

(5-2)

โดย n คือจำนวนอนุภาคในระบบ
และสำหรับในกรณีที่ตำแหน่งของอนุภาค ที่เรากำลังพิจารณา เขียนอยู่ในระบบพิกัดฉาก xyz coordinates x_cm, y_cm และ z_cmของจุดศูนย์กลางมวล สามารถหาได้จาก

	(5-3)
	(5-4)
	(5-5)

เราสามารถเขียนสมการแสดงจุดศูนย์กลางมวลในรูปของเวกเตอร์ได้เป็น

(5-6)

เมื่อ

(5-7)

เนื่องจาก

(5-8)

ตัวอย่างที่ 5-1

ระบบหนึ่งประกอบด้วยอนุภาคสองอนุภาคมวล 2.0 kg และ 3.0 kg ห่างกัน 10.0 cm ดังแสดงในรูป จงหาจุดศูนย์กลางมวลของระบบสองอนุภาคนี้         วิธีทำ          กำหนดให้มวล m1 อยู่ที่จุดกำเนิด และมวล m2 อยู่ที่ตำแหน่ง x2 = 10 cm          สังเกตว่าตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล อยู่ใกล้ด้านมวล m2 ซึ่งมีมวลมากกว่า

ตัวอย่างที่ 5-2

ระบบหนึ่งประกอบด้วยอนุภาค 3 อนุภาคใน Cartesian coordinates ซึ่งมีมวล 3,2 และ 5 kg ตามลำดับ อนุภาคแรกอยู่ที่จุด (1,1,0) อนุภาคที่สองอยู่ที่จุด (1,2,1)และอนุภาคที่สามอยู่ที่จุด (-1,0,1) จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของระบบอนุภาคนี้          หรือ

5-1-2 จุดศูนย์กลางมวลของระบบอนุภาคที่มีการกระจายมวลอย่างต่อเนื่อง

สำหรับระบบอนุภาค ที่มีการกระจายของมวลอย่างต่อเนื่อง เราสามารถหาจุดศูนย์กลางมวลของระบบ ได้โดย อาศัยนิยามของจุดศูนย์กลางมวล ของระบบอนุภาคข้างต้น

เนื่องจากระบบอนุภาคชนิดนี้สามารถพิจารณาได้ว่าประกอบด้วยอนุภาคเล็กๆ มากมายที่มีการเรียงตัวอย่างต่อเนื่องกัน

ดังนั้นถ้าเราแบ่งระบบอนุภาคชนิดนี้ออกเป็นส่วนเล็กๆ ซึ่งมีมวล ซึ่งเราพบว่าตำแหน่ง x ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบอนุภาคหาได้จาก

ถ้าเราสามารถแบ่งส่วนเล็กๆ ให้ย่อยลงไปอีก x_cm ที่เราได้ก็จะแม่นยำยิ่งขึ้น ดังนั้นทำให้เราเขียนได้ว่า

โดยที่ dm คือมวลส่วนเล็กๆ ที่อยู่ที่ตำแหน่ง x
สำหรับ y_cm และ z_cm ก็จะหาได้ในลักษณะเดียวกัน ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า จุดศูนย์กลางมวลของระบบอนุภาค ที่มีการกระจายของมวลอย่างต่อเนื่องในพิกัด xyz เขียนได้เป็น

	(5-9)
	(5-10)
	(5-11)

ตัวอย่างที่ 5-3

วัตถุชิ้นหนึ่งมีลักษณะเป็นแท่งโลหะยาว 2.0 m โดยมีมวลกระจายสม่ำเสมอ มีมวลต่อหน่วยความยาว (linear mass density) λ = 3.0 kg/m ถ้าแท่งโลหะนี้ วางตัวตามแนวแกน x โดยมีปลายข้างหนึ่งอยู่ที่จุด x = 0 จงคำนวณหาจุดศูนย์กลางมวลของแท่งโลหะนี้             วิธีทำ          วาดรูปเพื่อแสดงแท่งโลหะ เนื่องจากแท่งโลหะมีเนื้อสารที่ต่อเนื่อง เราจึงพิจารณาส่วนเล็กๆ ที่ยาว dx และอยู่ที่ตำแหน่ง x          จากสมการที่ 5-9 เราทราบว่า

ตัวอย่างที่ 5-4

วัตถุชิ้นหนึ่งมีลักษณะเป็นแท่งโลหะยาว 4.0 m โดยมีมวลต่อหน่วยความยาว ซึ่งขึ้นกับตำแหน่ง x เป็น λ = 6x kg/m เมื่อแท่งโลหะนี้ วางตัวตามแนวแกน x โดยมีปลายข้างหนึ่งอยู่ที่จุด x = 0 จงคำนวณหาจุดศูนย์กลางมวล ของแท่งโลหะนี้                วิธีทำ                ตัวอย่างนี้คล้ายๆ กับตัวอย่างที่ 5-3 แต่จะแตกต่างกันที่ λ ซึ่งในตัวอย่างนี้ขึ้นกับตำแหน่งด้วย แสดงว่าโลหะแท่งนี้มีมวลกระจายไม่สม่ำเสมอ ยิ่ง x มีค่ามากมวลต่อหน่วยความยาวที่บริเวณนั้นก็จะมีค่ามากตามไปด้วย                เพื่อให้ง่ายต่อความเข้าใจ จะขอทำโดยใช้ขั้นตอนที่ต่างจากตัวอย่างที่ 5-3 เล็กน้อย โดยจะหามวลของโลหะทั้งแท่งก่อนที่จะหาจุดศูนย์กลางมวล

ข้อมูลเกี่ยวกับการจุดศูนย์กลางมวล และมวลของวัตถุที่มีการกระจายมวลอย่างต่อเนื่องในหนึ่ง สอง หรือ สามมิติ

โดยทั่วไปแล้วลักษณะของวัตถุอาจแบ่งได้เป็นหลายลักษณะดังรูปที่ 5-2 เนื่องจากในการ integrate เพื่อที่จะหา coordinates ของจุดศูนย์กลางมวล (x_cm,y_cm,z_cm) จะต้องทำการเขียน dm ให้อยู่ในรูปของตัวแปร x, y หรือ z ตามความเหมาะสม โดยอาศัยสมการที่เรียกว่า density function ซึ่งขึ้นอยู่กับลักษณะของวัตถุที่กำลังพิจารณา

กรณีที่ 1 ถ้าวัตถุที่กำลังพิจารณามีลักษณะเป็นแท่งยาวตามแนวแกน จะสามารถเขียน density function ได้เป็น

Area mass density = λ = Mass/Length

กรณีที่ 2 ถ้าวัตถุที่กำลังพิจารณามีลักษณะเป็นพื้นที่อยู่ใน coordinates จะสามารถเขียน density function ได้เป็น

Area mass density = σ = Mass/Area

กรณีที่ 3 ถ้าวัตถุที่กำลังพิจารณามีลักษณะเป็นปริมาตรอยู่ใน coordinates จะเขียน density function ได้เป็น

Volume density = ρ = Mass/Volume