2-11-2 การเคลื่อนของวัตถุในของไหล (Motion through a liquid or gas)

ในตอนที่ผ่านมา แรงต้านการเคลื่อนที่ ที่พิจารณาคือแรงเสียดทาน เนื่องจากพื้นผิวสัมผัส ซึ่งมีค่าไม่ขึ้นกับความเร็วของวัตถุ แต่ในตอนนี้ จะพิจารณาแรงต้านการเคลื่อนที่ ซึ่งมีการเปลี่ยนแปลงตามความเร็วของวัตถุ ตัวอย่างของแรงต้านการเคลื่อนที่ ที่มีคุณสมบัติดังกล่าวคือ แรงหนืดในของเหลว แรงต้านของอากาศ เป็นต้น

โดยทั่วไป วัตถุที่มีขนาดเล็ก และเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต่ำ เช่น ลูกกลมโลหะขนาดเล็ก เคลื่อนที่ตกลงมายังก้นภาชนะ ที่บรรจุของเหลวภายใต้แรงดึงดูดของโลก จะถูกต้านการเคลื่อนที่ ด้วยแรงต้านซึ่งแปรผันตรง กับขนาดของความเร็วของวัตถุ และสามารถเขียน ในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้

(2-17)

เครื่องหมายลบ แสดงว่าแรงต้านการเคลื่อนที่มีทิศตรงข้ามกับความเร็วของวัตถุ โดยที่
คือ แรงต้านการเคลื่อนที่
คือ ความเร็วของวัตถุ
คือ ค่าคงที่ซึ่งขึ้นอยู่กับชนิดของตัวกลางและรูปร่างของวัตถุ เช่น ในกรณีของทรงกลมในของเหลว ค่า โดยที่ คือสัมประสิทธิ์ความหนืดของของเหลว และ คือเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม ( ตัวนี้ ไม่มีความเกี่ยวข้องใดๆ ทั้งสิ้นกับค่าคงตัวของสปริง)

รูปที่ 2-11 แสดงแผนภาพของแรงที่กระทำต่อวัตถุ เมื่อเคลื่อนที่ผ่านตัวกลางซึ่งเป็นของเหลว

ตัวอย่างที่สอดคล้องกับวิชาปฏิบัติการฟิสิกส์ เช่น ในกรณีของทรงกลมมวล m ถูกปล่อยให้เคลื่อนที่ตกลงมายังก้นภาชนะที่บรรจุน้ำมัน ภายใต้แรงดึงดูดของโลก เมื่อพิจารณา free-body diagram (รูปที่ 2-11) แรงที่กระทำต่อวัตถุในแนวดิ่งประกอบด้วย และ (โดยในตอนนี้ ยังไม่พิจารณาถึงแรงลอยตัว เมื่อให้การแก้สมการไม่ยุ่งยากมากนัก) ดังนั้น เมื่อใช้กฎข้อที่สองของนิวตันจะได้ว่า


และหากกำหนดให้ทิศชี้ลงเป็นบวกจะได้ว่า

(2-18)

เขียนสมการที่ (2-18) ใหม่ได้เป็น

(2-19)

สมการที่ 2-19 นี้เรียกว่าสมการอนุพันธ์ (differential equation) สมการนี้แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างความเร็ว กับเวลา t เราสามารถแก้สมการนี้เพื่อเขียน ในรูปของ t ได้เป็น

	(2-20)
	(2-21)

หรือ

เราจะสามารถเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่าง ความเร็ว กับเวลา t ได้ง่ายขึ้นถ้าพิจารณากราฟแสดงความสัมพันธ์ะระหว่าง กับ t ดังแสดงในรูปที่ 2-12

รูปที่ 2-12 อัตราเร็วที่เวลาต่างๆ ของทรงกลมที่ตกในของเหลว

จากรูปจะพบว่า ถ้าพิจารณากรณีที่เวลา t มีค่ามากๆ จะได้ว่าความเร็วจะมีค่าเข้าใกล้ค่า ทำให้เรียก ว่า ความเร็วสุดท้าย (terminal velocity, ) ทำให้เขียนสมการที่ 2-21 ใหม่ได้เป็น

	(2-22)
โดยที่
	(2-23)

นอกจากนี้ รูปที่ 2-12 ยังแสดงให้เห็นว่า τ เป็นเวลาที่สัมพันธ์กับความเร็วของวัตถุที่มีค่าเป็น 63% ของ

การหาความเร็วสุดท้าย โดยไม่ต้องแก้สมการอนุพันธ์

ในสมการที่ (2-18) คือความเร่งของทรงกลมเมื่อเคลื่อนที่ผ่านของเหลว เมื่อเวลาผ่านไปวัตถุจะมีความเร็วเพิ่มขึ้น กล่าวคือ แรงต้านการเคลื่อนที่ก็จะเพิ่มมากขึ้นเช่นกัน จนกระทั่งแรงต้านการเคลื่อนที่ มีขนาดเท่ากับน้ำหนักของวัตถุ (พิจารณาตามสมการที่ (2-18)) ทรงกลมนี้ ก็จะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเท่ากับศูนย์ หรืออาจกล่าวได้ว่าเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่นั่นเอง ความเร็วดังกล่าวก็คือ ความเร็วสุดท้าย ทำให้เราสามารถหา ได้จากสมการที่ (2-19) เมื่อแทน

(2-24)

ทำให้ได้

(2-25)

เหมือนกับคำตอบที่ได้จากสมการที่ 2-23 แต่การทำวิธีนี้จะได้เฉพาะ เท่านั้น จะไม่สามารถหาความเร็วที่เวลาใดๆ ได้

สำหรับในอีกกรณีหนึ่งที่วัตถุมีขนาดใหญ่และเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูง เช่น นักดิ่งพสุธาที่กระโดดจากเครื่องบิน เขาจะถูกต้านการเคลื่อนที่จากอากาศด้วย ซึ่งแรงต้านจากอากาศนี้จะไม่ได้แปรผันตามความเร็วเหมือนสมการที่ 2-17 แต่จะแปรผันกับขนาดของความเร็วยกกำลังสอง ซึ่งสามารถเขียนเป็นสมการได้ดังนี้

(2-26)

โดยที่

รูปที่ 2-13 แสดงแผนภาพ ของแรงที่กระทำต่อวัตถ ุที่เคลื่อนที่ผ่านตัวกลางซึ่งเป็นอากาศ (ก) แสดงภาพของแรงเมื่อวัตถุเริ่มเคลื่อนที่ผ่านอากาศโดยมีความเร่ง (ข) แสดงภาพของแรงเมื่อวัตถุเคลื่อนที่โดยไม่มีความเร่ง

ตัวอย่างเช่น ทรงกลมมวล m ตกลงมาอย่างอิสระดังรูปที่ 2-13 แรงที่กระทำต่อมวลดังกล่าวในแนวดิ่งประกอบด้วย และ (ในกรณีนี้ยังไม่นำแรงลอยตัวมาพิจารณา) ดังนั้นขนาดของแรงลัพธ์สามารถเขียนได้เป็น

	(2-27)

ดังนั้นขนาดความเร่งของทรงกลมดังกล่าวคือ

(2-28)

และในทำนองเดียวกันกับกรณีที่ผ่านมา ความเร็วสุดท้าย สำหรับในกรณี ที่วัตถุเคลื่อนที่ผ่านอากาศลงมา สามารถหาได้จากเงื่อนไขที่ว่า ความเร่งของวัตถุที่ตกลงมา มีค่าลดลงเป็นศูนย ์เมื่อแรงต้านของอากาศมีขนาดเท่ากับน้ำหนักของวัตถุ

	(2-29)