การประยุกต์ใช้กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน (Some Applications of Newton’s laws)


ในตอนนี้จะกล่าวถึง ตัวอย่างของการเคลื่อนที่ ที่สามารถใช้กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันมาอธิบายได้ โดยในเบื้องต้นนี้ ระบบของวัตถุที่พิจารณา จะเป็นแบบง่ายๆ เช่นไม่คิดแรงเสียดทานขณะที่วัตถุเคลื่อนที่ รวมทั้งการเคลื่อนที่ของวัตถุ เป็นลักษณะของการเลื่อนตำแหน่ง (ไม่มีการหมุน) โดยหลักการแล้ว เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุ โดยใช้กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน จะพิจารณาเฉพาะแรงภายนอกที่กระทำต่อวัตถุ ตัวอย่างเช่น ถ้าต้องการหาว่า เมื่อออกแรงดึงก้อนวัตถุที่วางอยู่บนพื้นเรียบโดยใช้เชือก วัตถุจะมีความเร่งเท่าไร ในการแก้ปัญหาดังกล่าว จะต้องทราบก่อนว่าในขณะนั้นมีแรงอะไรกระทำต่อวัตถุบ้าง โดยการเขียนแผนภาพของแรงที่กระทำต่อวัตถุ ซึ่งเรียกว่า Free-body diagram

รูปที่ 2-2 แสดงตัวอย่างของการใช้แผนภาพของแรงในการแก้ปัญหา (ก) แสดงวัตถุถูกดึงด้วยเชือกบนพื้นเรียบ (ข) แสดงแรงที่กระทำต่อวัตถุ

จากรูปที่ 2-2 จะเห็นว่า มีแรงสามแรงที่กระทำต่อก้อนวัตถุคือ
1. แรงที่โลกดูดวัตถุซึ่งก็คือน้ำหนักของวัตถุนั่นเอง
2. แรงที่พื้นดันวัตถุซึ่งเป็นแรงตั้งฉาก และ
3. แรงตึงเชือก โดยที่ และ เป็นแรงในแนวแกน เนื่องจากวัตถุไม่มีการเคลื่อนที่ในแนวแกน ดังนั้นในแนวนี้ วัตถุจึงไม่มีความเร่ง ทำให้เราสรุปในเบื้องต้นได้ว่า

หรือ

แต่เมื่อพิจารณาในแนวแกน x แรงที่กระทำคือ โดยไม่มีแรงต้าน ในทิศทางตรงกันข้าม จึงทำให้ก้อนวัตถุมีความเร่งในแนวแกน ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน

ดังนั้น หรือ

ถ้า เป็นแรงกระทำที่คงที่ จะทำให้ความเร่ง เป็นค่าคงที่ เราจึงอาจใช้สมการการเคลื่อนที่ ในบทที่ผ่านมา ประกอบกับค่าความเร่งที่ได้มานี้ใช้ในการคำนวณหา การกระจัด (Δx) หรือ ความเร็วของวัตถุ ( ) ก็ได้ ตามสมการ


จากตัวอย่างที่ยกมามีข้อน่าสังเกตเกี่ยวกับแรงในแนวตั้งฉาก ที่เกิดขึ้น ซึ่งไม่จำเป็นต้องเท่ากับน้ำหนัก เสมอไป เช่นในกรณีที่ใช้มือออกแรง กดหนังสือที่วางอยู่บนโต๊ะ ในกรณีนี้ถ้าเขียน free-body diagram ออกมา ก็จะพบว่ามีแรงกระทำต่อหนังสือในทิศลงคือ และแรง และในขณะเดียวกันก็มีแรงดันขึ้นจากโต๊ะ เนื่องจากระบบที่ยกมานี้สมดุล ตามกฎข้อที่หนึ่งของนิวตัน

หรือ


ซึ่งหมายความว่า แรงต้านในแนวตั้งฉาก สามารถมีค่าเปลี่ยนแปลง ตามขนาดของแรงที่กดลงมาได้

กล่าวโดยสรุปแล้ว ในการนำกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ไปใช้แก้ปัญหาโจทย์ ควรจะต้องดำเนินการตามขั้นตอนต่อไปนี้
(1) วาดภาพแสดงระบบที่ให้มา
(2) วาด free-body diagram ของส่วนที่โจทย์ต้องการ โดยแสดงแรงต่างๆ ที่กระทำต่อส่วนดังกล่าว และสำหรับในกรณีที่มีส่วนที่ต้องพิจารณามากกว่าหนึ่งส่วนก็ต้องวาด free-body diagram ของแต่ละส่วนให้ชัดเจน
(3) สร้างแกนของคู่ลำดับ (coordinate axes) ที่เหมาะสม เพื่อใช้ในการแตกแรง จากนั้นใช้กฎข้อที่สองของนิวตัน
(4) ดำเนินการแก้สมการเพื่อหาค่าที่ต้องการออกมา โดยระลึกเสมอว่า จำนวนสมการที่สร้างขึ้นต้องเท่ากับจำนวนของตัวแปรที่ไม่ทราบค่า

ตัวอย่างที่ 2-1

Atwood machine เป็นชุดทดลองที่ใช้ในการวัดค่าความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วง ประกอบด้วยมวล 2 ชุดขนาดไม่เท่ากัน ห้อยไว้ด้วยเชือกเบาซึ่งพาดผ่านรอกที่ไม่มีความเสียดทาน จงหาความเร่งของมวลทั้งสองและแรงตึงของเส้นเชือก         วิธีทำ         การแก้ปัญหาที่โจทย์สามารถดำเนินการตามขั้นตอนที่ให้ไว้         (1) วาดภาพประกอบ รูปที่ 2-3 แสดง Atwood’s machine         (2) วาด free-body diagram ของส่วนที่สนใจ พร้อมทั้งแสดง ถึงแรงทั้งหมดที่กระทำ โดยสมมติให้ รูปที่ 2-4 แสดง free-body diagram ของส่วนประกอบที่สนใจ         (3) สร้างแกนของคู่ลำดับที่เหมาะสม         ในกรณีนี้สามารถใช้แกน เพียงแกนเดียว เพื่อเขียนสมการตามกฎข้อที่สองของนิวตัน (เขียนเฉพาะขนาด)         สำหรับมวล a         สำหรับมวล b           เครื่องหมายลบหมายถึงมวล เคลื่อนที่ลง ด้วยความเร่ง ในทิศทางตรงข้ามกับความเร่งของมวล         (4) แก้สมการโดยนำสมการ (b) ลบจากสมการ (a) c         จากนั้นแทนสมการ (c) ลงในสมการ (a) จะได้

ตัวอย่างที่ 2-2

มวล วางบนพื้นราบลื่น และมีแรง และ กระทำในแนวระดับ ดังรูปที่ 2-5 โดย xy เป็นระบบพิกัดฉากบนพื้น         (ก) ถ้าผลจากแรงลัพธ์ทำให้มวลมีการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ไปทางด้านซ้าย ขนาดของแรง ควรมีค่าเป็นเท่าไร และมีทิศทางอย่างไร รูปที่ 2-5 แสดง แรงทั้งสามแรงที่กระทำต่อวัตถุ         (ข) ถ้าขนาดของแรง ที่หาได้ในข้อ (ก) ลดลงครึ่งหนึ่ง ขนาดความเร่งของมวล m จะมีค่าเท่าใดและมีทิศทางเป็นอย่างไร         วิธีทำ         (ก) วัตถุมีความเร็วคงตัว ไม่ว่าจะเคลื่อนที่ไปทางด้านไหนก็ตาม แสดงว่าความเร่งมีค่าเป็นศูนย์         หากกำหนดให้แรง ทำมุม θ กับแกน -x ดังรูป จะได้ว่า         สองสมการนี้มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่า 2 ตัว คือขนาดของแรง และมุม θ ซึ่งสามารถหาได้ดังนี้         ในตอนที่แล้ว ได้ทราบเกี่ยวกับการนำกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ไปประยุกต์ใช้ในการเคลื่อนที่เชิงเส้น สำหรับในตอนต่อไป จะได้ทราบถึง การนำกฎดังกล่าวมาใช้อธิบายการเคลื่อนที่แบบวงกลม