กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน (Newton’s Second Law of Motion)


ในตอนที่ผ่านมา กฎข้อที่หนึ่งของนิวตัน ได้อธิบายถึงกรณีที่แรงลัพธ์ที่มากระทำต่อวัตถุเป็นศูนย์ ซึ่งมีผลทำให้ วัตถุยังคงสามารถรักษาสภาพการเคลื่อนที่อยู่ได้ กล่าวคือ ถ้าวัตถุอยู่นิ่งก็ยังคงอยู่นิ่งต่อไป แต่ถ้าวัตถุกำลังเคลื่อนที่ ก็จะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่ สำหรับในตอนนี้ จะเป็นการศึกษากฎข้อที่สองของนิวตัน ซึ่งจะอธิบายถึงผลที่เกิดขึ้น กับวัตถุในกรณีที่แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุไม่เป็นศูนย์

จากการศึกษาพบว่า การออกแรง ดันก้อนน้ำแข็งบนพื้น ซึ่งปราศจากแรงเสียดทาน จะพบว่าก้อนน้ำแข็งจะเคลื่อนที่ไปด้วยความเร่ง คราวนี้ถ้าเราออกแรงเพิ่มเป็น ก้อนน้ำแข็งดังกล่าว จะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งที่เพิ่มขึ้นเป็น และในลักษณะเดียวกันถ้าแรงที่กระทำต่อก้อนน้ำแข็งเป็น ความเร่งของก้อนน้ำแข็ง ก็จะเป็น เช่นเดียวกัน ดังนั้นจากตัวอย่าง พอจะสรุปได้ว่า ความเร่งของวัตถุแปรผันตรงกับแรงลัพธ์ที่มากระทำต่อวัตถุ

พิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง ในกรณีที่แรงที่กระทำต่อก้อนน้ำแข็งเป็น ตลอดเวลา แต่มวลของก้อนน้ำแข็งเปลี่ยนไป จะพบว่าที่แรง เท่าเดิมกระทำต่อก้อนน้ำแข็งก้อนเดิม ก้อนน้ำแข็งดังกล่าวจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง ถ้าเพิ่มมวลของก้อนน้ำแข็งเป็นสองเท่า แต่แรงยังมีขนาดเท่าเดิม ความเร่งของก้อนน้ำแข็งดังกล่าวจะลดลงเป็น และในทำนองเดียวกัน ถ้ามวลเพิ่มเป็นสามเท่า แต่แรงกระทำยังคงเดิม ความเร่งจะลดลงเป็น ดังนั้น พอจะได้ข้อสรุปเพิ่มมาอีกส่วนหนึ่งก็คือ ความเร่งของวัตถุแปรผกผันกับมวลของวัตถุ

จากสองตัวอย่างข้างต้นสามารถนำมาสรุปเป็นกฎข้อที่สองของนิวตันได้ว่า

“ความเร่งของวัตถุ แปรผันตรงกับแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุนั้น แต่จะแปรผกผันกับมวลของวัตถุ”

เพื่อความสะดวกในการพิจารณาและแก้ปัญหาทางฟิสิกส์ กฎข้อที่สองของนิวตันสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของสมการทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้

(2-1)

เมื่อ
คือ ผลรวมของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุ มีหน่วยเป็น นิวตัน (N)
m คือ มวลของวัตถุ มีหน่วยเป็น กิโลกรัม (Kg )
คือ ความเร่งของวัตถุ มีหน่วยเป็น

สำหรับระบบพิกัดฉาก (rectangular coordinate) สมการ (2-1) สามารถแยกพิจารณาเป็นส่วนประกอบย่อยๆ ตามแนวแกน x,y และ z ได้ดังนี้

(2-2)

สังเกตว่าหน่วยของแรงที่ใช้คือนิวตัน (N) ซึ่งเป็นหน่วยตามระบบ SI มีนิยามว่า แรงขนาด 1N กระทำต่อมวลขนาด 1 kg ทำให้มวลดังกล่าวมีความเร่ง
ดังนั้น

กฎข้อที่สองของนิวตันสามารถเขียนในรูปของความสัมพันธ์ระหว่างแรง และโมเมนตัม ได้ดังนี้

(2-3)

สมการที่ (2-3) แสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของวัตถุ มีค่าเท่ากับ แรงที่กระทำลงบนวัตถุนั้น หรืออาจจะเขียนเป็นภาษาพูดได้ว่า “ถ้ามีแรงภายนอกที่ไม่เป็นศูนย์ มากระทำต่อวัตถุ จะมีผลทำให้วัตถุเปลี่ยนโมเมนตัมไป”

กฎของนิวตันในลักษณะนี้ เป็นแบบที่นิวตันเขียน และเป็นแบบที่ถูกต้อง มากกว่าแบบ ซึ่งเป็นแบบที่หลายๆ คนเรียนและเข้าใจว่าถูกต้อง

กฎข้อที่สองของนิวตันในรูป สามารถเปลี่ยนเป็นแบบ ได้ดังนี้


และถ้ามวล m มีค่าคงตัวเท่าจะนำออกนอกอนุพันธ์ได้ ทำให้ได้


จะเห็นว่า เป็นจริงเฉพาะในกรณีที่มวล m มีค่าคงตัวเท่านั้น ดังนั้น จึงเป็นกรณีพิเศษของ

เราจะได้ใช้กฎข้อที่สองของนิวตัน ในรูปของอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมมากขึ้น เมื่อเราทำการแก้ปัญหาโจทย์ ที่เกี่ยวข้องกับมวลที่เปลี่ยนแปลง เช่น เรื่องจรวดที่มีมวลลดลงเรื่อยๆ เนื่องจากการเผาผลาญเชื้อเพลิง หรือ เรื่องของหยดน้ำฝน ที่ตกลงมาแล้วปะทะกับหยดน้ำหยดอื่น ทำให้มีมวลเพิ่มมากขึ้น