ในตอนที่ผ่านมาเราพบว่า ทฤษฎีบทงานและพลังงานจลน์ สามารถนำมาใช้ในการหาความเร็วของวัตถุ ที่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากมีแรงกระทำต่อวัตถุและทำให้เกิดงานขึ้น แต่อย่างไรก็ตาม พฤติกรรมของวัตถุเมื่อมีแรงต่างชนิดมากระทำ จะมีลักษณะที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อแรงเนื่องจากความโน้มถ่วงของโลก และแรงเสียดทานกระทำต่อวัตถุชนิดเดียวกัน จะให้ ผลการเคลื่อนที่ของวัตถุดังกล่าว ออกมาแตกต่างกัน ดังมีรายละเอียดต่อไปนี้

ถ้าเราทำการโยนลูกบอลขึ้นไปในอากาศในแนวดิ่ง ลูกบอลจะมีความเร็วต้น และพลังงานจลน์เริ่มต้นอยู่ค่าหนึ่ง ในขณะที่ลูกบอลเคลื่อนที่สูงขึ้น แรงโน้มถ่วงของโลกจะกระทำต่อลูกบอลดังกล่าวทำให้เกิดงานซึ่งมีค่าเป็นลบ (negative work) เนื่องจากแรงและการกระจัดมีทิศตรงกันข้าม ซึ่งหมายถึง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ พลังงานจลน์ลดลง ในที่สุดเมื่อลูกบอล เคลื่อนที่ขึ้นไปถึงความสูงระดับหนึ่ง พลังงานจลน์มีค่าเป็นศูนย์ ในช่วงเวลาขณะหนึ่ง จากนั้นลูกบอล ก็จะตกกลับลงมาในแนวเดิม โดยคราวนี้แรงเนื่องจากความโน้มถ่วงของโลก กระทำต่อลูกบอลดังกล่าว และทำให้เกิดงานซึ่งเป็นบวก (positive work) เนื่องจากแรงและการกระจัดมีทิศเดียวกัน ดังนั้นจึงหมายถึง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ พลังงานจลน์เพิ่มขึ้น เมื่อลูกบอลตกผ่านจุดที่มันถูกโยนขึ้นไป ลูกบอล ก็จะมีพลังงานจลน์ เท่ากับพลังงานจลน์เริ่มต้น (เมื่อไม่คิดแรงต้านของอากาศ) จากที่กล่าวมาจะสังเกตว่า ในขณะที่ลูกบอลเคลื่อนที่ขึ้นไปในแนวดิ่ง พลังงานจลน์ลดลง แต่เมื่อลูกบอลเคลื่อนที่ลง พลังงานจลน์กลับเพิ่มขึ้นและกลับมาเท่าเดิม แสดงให้เห็นว่า พลังงานจลน์ของลูกบอลไม่มีการสูญเสียไปไหน ขณะที่มีแรงโน้มถ่วงของโลกกระทำ เพียงแต่ มีการเปลี่ยนรูปพลังงานจากพลังงานจลน์ ไปเป็นพลังงานรูปอื่นเท่านั้น

สำหรับแรงอีกแบบหนึ่ง ซึ่งให้ผลการเคลื่อนที่ของวัตถุแตกต่างจากตัวอย่างข้างต้นคือ แรงเสียดทาน กล่าวคือ ถ้าทำการผลักวัตถุ ให้เลื่อนไปบนโต๊ะที่มีความฝืด โดยเริ่มต้นให้พลังงานจลน์ของวัตถุ มีค่าเท่ากันกับในกรณีที่แรงกระทำ คือแรงโน้มถ่วงของโลก เราจะพบว่า แรงเสียดทานที่กระทำต่อวัตถุ จะทำให้เกิดงานซึ่งมีค่าเป็นลบ มีผลทำให้พลังงานจลน์ของวัตถุลดลง จนกระทั่งกลายเป็นศูนย์ในที่สุด แต่ในกรณีนี้วัตถุ จะไม่มีการย้อนกลับมาในทิศทางเดิม แสดงให้เห็นว่า พลังงานจลน์ของวัตถุมีการสูญเสียไปเมื่อมีแรงเสียดทานกระทำต่อวัตถุ

จากความแตกต่างที่เกิดขึ้นดังกล่าว ทำให้แบ่งชนิดของแรงออกได้เป็น 2 ประเภทคือ แรงอนุรักษ์ (conservative forces) และ แรงไม่อนุรักษ์ (non-conservative forces) ตัวอย่างของแรงอนุรักษ์คือ แรงเนื่องจากความโน้มถ่วงของโลก และแรงจากสปริง สำหรับตัวอย่างของแรงไม่อนุรักษ์คือ แรงเสียดทาน

ในการที่เราจะแบ่งแยกแรงชนิดใด ว่าเป็นแรงอนุรักษ์ หรือแรงไม่อนุรักษ์ เราจะดูว่า แรงดังกล่าว เป็นไปตามเงื่อนไขหนึ่งในสองเงื่อนไขนี้หรือไม่

เงื่อนไขที่ 1
แรงใดจะเป็นแรงอนุรักษ์ได้ก็ต่อเมื่อ ผลรวมของงานทั้งหมด ที่เกิดขึ้นจากแรงดังกล่าว ในเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ครบรอบ มีค่าเป็นศูนย์

เงื่อนไขที่ 2
แรงใดจะเป็นแรงอนุรักษ์ได้ก็ต่อเมื่อ งานที่เกิดขึ้นเนื่องจากแรงดังกล่าว ในการเคลื่อนที่ระหว่างสองจุดใดๆ ไม่ขึ้นกับเส้นทาง กล่าว คือไม่ว่าวัตถุจะเคลื่อนที่ในเส้นทางใด งานที่เกิดขึ้นมีค่าเท่ากันเสมอ

เราสามารถขยายความ ในเงื่อนไขที่หนึ่งได้โดยดูจากตัวอย่างการโยนลูกบอล ขึ้นไปในอากาศ โดยในขณะ ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ขึ้น แรงเนื่องจากความโน้มถ่วงของโลก ซึ่งเป็นแรงอนุรักษ์ จะทำให้เกิดงานค่าหนึ่งซึ่งเป็นลบ และเมื่อลูกบอลตกลงมายังจุดที่โยน กล่าวคือลูกบอลมีการเคลื่อนที่ครบรอบ งานที่เกิดขึ้นดังกล่าว มีค่าเป็นบวก และมีขนาดเท่ากับงานขาขึ้น ดังนั้น ผลรวมของงานทั้งหมดจึงมีค่าเป็นศูนย์ รูปที่ 3-5 แสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุภายใต้แรงโน้มถ่วง พิจารณารูปที่ 3-5 จะพบว่า งานที่เกิดขึ้น ขณะที่วัตถุมีการเคลื่อนที่ขึ้น มีค่าเท่ากับ การเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ ตามทฤษฎีบทงานและพลังงานจลน์

โดยงานที่เกิดขึ้นขณะที่วัตถุมีการเคลื่อนที่ลงมีค่าเท่ากับ



แสดงให้เห็นว่า งานที่เกิด เนื่องจากวัตถุเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ ภายใต้แรงโน้มถ่วง มีค่าเป็นศูนย์แสดงว่าแรงโน้มถ่วงเป็นแรงอนุรักษ์

สำหรับในเงื่อนไขที่ 2 สามารถอธิบายได้โดยใช้รูปที่ 3-6

รูปที่ 3-6 แสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุใน 2 แนวทางคือ (1) และ (2)

จากรูปที่ 3-6 แสดงให้เห็นว่าเราสามารถนำวัตถุมวล m จากจุด i ไปยังจุด f ได้สองเส้นทาง ประกอบด้วย เส้นทาง (1) และเส้นทาง (2)

พิจารณางานที่เกิดจากการนำวัตถุไปตามเส้นทาง (1)


ในขณะที่งานที่เกิดจากการนำวัตถุไปตามเส้นทาง (2) คือ


แสดงให้เห็นว่า งานที่ใช้ในการเปลี่ยนตำแหน่ง ภายใต้แรงกระทำ เนื่องจากความโน้มถ่วงของโลก ไม่ขึ้นกับเส้นทาง ดังนั้นแรงโน้มถ่วงจึงเป็นแรงอนุรักษ์

จากตอนต้น สำหรับตัวอย่างของแรงโน้มถ่วง ซึ่งเป็นแรงอนุรักษ์ที่กระทำต่อลูกบอล โดยกล่าวว่า ขณะที่ลูกบอลเคลื่อนที่ขึ้นไปในแนวดิ่ง พลังงานจลน์ลดลง แต่เมื่อลูกบอลเคลื่อนที่ลง พลังงานจลน์กลับเพิ่มขึ้นและกลับมาเท่าเดิม แสดงให้เห็นว่า พลังงานจลน์ของลูกบอล ไม่มีการสูญเสียไปไหน ขณะที่มีแรงโน้มถ่วงของโลกกระทำเพียง แต่ มีการเปลี่ยนรูปพลังงาน จากพลังงานจลน์ไปเป็นพลังงานรูปอื่นเท่านั้น

พลังงานรูปอื่นที่กล่าวถึงในที่นี้เรียกว่าพลังงานศักย์ ดังนั้น ด้วยแนวคิดนี้สามารถกล่าวได้ว่าในขณะที่ลูกบอลเคลื่อนที่ขึ้น พลังงานจลน์ที่ลดลง กลายเป็นพลังงานศักย์ที่เพิ่มขึ้น (ในที่นี้มีชื่อเฉพาะเรียกว่าพลังงานศักย์โน้มถ่วง) โดยขณะที่ลูกบอลขึ้นไปได้สูงสุด พลังงานจลน์ ได้เปลี่ยนไปเป็นพลังงานศักย์ทั้งหมด และเมื่อลูกบอลตกกลับลงมา พลังงานศักย์มีการเปลี่ยนรูปกลับไปเป็นพลังงานจลน์เช่นเดิม เพื่อที่จะให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานศักย์และงานที่เกิดขึ้น ให้พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ถ้าสมมติให้ ในขณะที่ลูกบอลเคลื่อนที่ขึ้นจากจุดที่ปล่อยไปยังจุดสูงสุด งานที่เกิดขึ้น เนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก กระทำต่อวัตถุมีค่า -5.0 J (งานมีค่าเป็นลบ หมายถึงพลังงานจลน์ลดลง) และเนื่องจากแรงที่กระทำต่อลูกบอล เป็นแรงอนุรักษ์ ดังนั้นพลังงานจลน์ ที่ลดลงในส่วนนี้ จึงกลายไปเป็นพลังงานศักย์ทั้งหมด หรือกล่าวได้ว่าลูกบอล มีพลังงานศักย์เพิ่มเป็น +5.0 J เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ดังกล่าว ในรูปของสมการทั่วไปได้ดังนี้

(3-24)

คืองานที่เกิดเนื่องจากแรงอนุรักษ์
จากสมการที่ (3-13) เราสามารถเขียนการเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ ได้เป็น

(3-25)

หรืออีกรูปหนึ่งที่จะพบมากคือ

(3-25B)

โดยที่แรง ที่ปรากฏในสมการที่ (3-25) คือแรงอนุรักษ์ ซึ่งถ้าเป็นในกรณีที่พิจารณาระบบใน 3 มิติ เราสามารถเขียนสมการที่ (3-25) ได้ใหม่เป็น

	(3-26)

หรือ

(3-26B)

เมื่อ
และ

สมการที่ (3-26) เป็นสมการทั่วไป แสดงความสัมพันธ์ ระหว่างการเปลี่ยนแปลงพลังงานศักย ์และงาน ส่วนสมการที่ 3-26B นั้น นักศึกษา ยังไม่ต้องจำ เพียงแค่ให้ทราบว่า เราสามารถหาแรงจากพลังงานศักย์ได้เท่านั้นก็พอ

ในหัวข้อต่อไปจะเป็นการหาการเปลี่ยนแปลงพลังงานศักย์ เนื่องมาจาก แรงอนุรักษ์สองชนิดคือ แรงเนื่องจากความโน้มถ่วง และแรงเนื่องจากสปริง

ตัวอย่างที่ 3-6

รูปแสดงการเคลื่อนที่ของอนุภาคจาก f ไป i และจาก j ไป i ถ้าแรงที่กระทำให้อนุภาคเคลื่อนที่คือแรงอนุรักษ์ จงหาว่างานที่ใช้ในการทำให้อนุภาคเคลื่อนที่จาก f มายัง j มีค่าเท่าใด         วิธีทำ         เนื่องจาก เป็นแรงอนุรักษ์ทำให้ได้ว่า